MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国The
MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C、C++、Java、Python和FORTRAN）编写的程序。
尽管MATLAB主要用于数值运算，但利用为数众多的附加工具箱（Toolbox）它也适合不同领域的应用，例如控制系统设计与分析、图像处理、信号处理与通讯、金融建模和分析等。另外还有一个配套软件包Simulink，提供一个可视化开发环境，常用于系统模拟、动态/嵌入式系统开发等方面。
From Wikipedia
另外，Matlab在上世纪七十年代前由Fortran编写，后来用C改写。
根据所用参考书将学习分为三部分，数值计算、符号计算、图形可视化。 [向量与矩阵运算](#向量与矩阵运算) [符号计算](#符号计算) [MATLAB绘图](#图形可视化)
向量与矩阵运算
MATLAB的是主要数据对象是矩阵，标量、行向量、列向量都是它的特例，最基本的功能是矩阵运算。
一、向量及其运算
向量生成有直接输入向量、冒号生成向量、线性等分生成向量等方法。
直接输入向量，使用逗号或空格分割元素生成行向量，使用分号或回车分割向量元素生成列向量，这里注意行向量维度需要一致，列向量维度需要一致，否则报错。>> [1,2,3;4 5 6;7,8 9]
ans =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
冒号生成向量，格式为x1:x2:x3，x1为初始值，x2为步长、x3为终止值，x2缺省为1。>> [3:-1:1;6:-2:2;9:-3:3]
ans =
3 2 1
6 4 2
9 6 3
线性等分生成向量，使用线性等分函数linspace，格式为y=linspace(x1,x2,n)，x1表示起始值，x2表示终止值，n表示产生n维向量。与上方法相同，生成的向量都是行向量，如需列向量使用’转置即可。>> [linspace(1,3,3)' linspace(1,3,3)' linspace(1,3,3)']
ans =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
向量运算这里介绍向量的代数运算、群运算、点积叉积混合积等运算。
向量的代数运算包括和差、数乘、平移，设x=[x1 x2 x3]，y=[y1 y2 y3]，a，b。
和差x±y=[x1±y1 x2±y2 x3±y3]，数乘a*x=[a*x1 a*x2 a*x3]，平移x+b=[x1+b x2+b x3+b]。>> x=[1 3 5];y=[2 4 6];
>> x+y,x-y,2*x,x+3
ans =
3 7 11
ans =
-1 -1 -1
ans =
2 6 10
ans =
4 6 8
群运算，包括向量间的乘法、除法、乘幂等运算。设x=[x1 x2 x3]，y=[y1 y2 y3]。
元素群乘法x.*y=[x1*y1 x2*y2 x3*y3]，元素群右除x.\/y=[x1/y1 x2/y2 x3/y3]，元素群左除x.\\y=[y1/x1 y2/x2 y3/x3]，
元素群乘幂x.\^5=[x1\^5 x2\^5 x3\^5]，元素群乘幂7.\^x=[7\^x1 7\^x2 7\^x3]，元素群乘幂x.\^y=[x1\^y1 x2\^y2 x3\^y3]。>> x=[1 2 3];y=[4 5 6];
>> x.*y,x./y,x.\y,x.^5,7.^x,x.^y
ans =
4 10 18
ans =
0.2500 0.4000 0.5000
ans =
4.0000 2.5000 2.0000
ans =
1 32 243
ans =
7 49 343
ans =
1 32 729
点积叉积混合积运算，点积（内积）MATLAB中有函数dot(a,b)，叉积（外积）MATLAB中则有函数cross(a,b)，混合积即可由两个函数共同实现，这里对点乘和叉乘运算进行简要解释扩展。
向量的点乘，也叫向量的数量积、内积、点积、无向积等，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
数量积的几何意义是表示在b向量在a向量方向上的投影与a模长的乘积，也可以用来计算两向量夹角等。a·b = |a|*|b|*cosθ。
向量的叉乘，又叫向量的向量积、外积、叉积、有向积等，叉乘的运算结果是一个向量。并且两个向量的向量积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
在三维几何中，向量a和向量b的向量积结果是法向量，则可以通过两个向量的向量积，生成第三维，从而构建XYZ坐标系。在二维空间中，向量积的几何意义是：axb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。a∧b = |a|*|b|*sinθ。
From -牧野-
原文中不准确和冗余之处已纠正。
向量的内外积是线性代数的内容，不过已经全部忘光了，身为计算机科学系的学生十分惭愧，这里再做一点补充。
数量积在物理中可以通过W=F·s=|F||s|cosθ理解，力对物体做的功=力在运动方向上的分量对物体做的功。
向量积在物理中可以通过M=r×F=|r||F|sinθ理解，也就是一个力对一个定点的矩，当F与向径r不垂直时，二者有个夹角θ。
另外a∧b的方向：与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。c=a∧b）
下面是计算演示。
>> x=[1 2 3];y=[3 4 5]; |
二、矩阵及其运算
矩阵生成有直接输入矩阵、M文件输入矩阵、函数生成矩阵等方法。
直接输入矩阵，规模小时非常实用，矩阵用[]标识，行内用逗号或空格分割元素，行与行之间用分号或回车分割，矩阵元素也可以写为运算表达式。>> [1,2,3;exp(1),7/6,abs(-2.8)]
ans =
1.0000 2.0000 3.0000
2.7183 1.1667 2.8000
M文件输入矩阵，M文件是一种可以在MATLAB系统中运行的文本文件，它可以分为命令式文件和函数式文件，主要使用命令式的M文件创建矩阵。
这里对M文件也进行补充扩展。
MATLAB涉及的文件类型有.m .mat .asv .fig .xml .sxl等许多种，MATLAB提供了程序设计功能，即对应以.m为扩展名的文件，简称M文件。M文件有两种形式：命令式文件（Script）和函数式文件（Function）。
命令式文件就是命令行的简单叠加，这样就解决了用户在命令窗中输入许多命令的麻烦，也避免了重复性工作。无输入参数和返回，生成的变量均为全局变量，通过clear等命令可以清除。
函数式文件主要解决参数传递和函数调用问题，首行必须用function标识，可以有输入参数和返回值，过程中生成的变量会在调用结束后被销毁。Basis_3.m
aa=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
>> Basis_3
aa =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
函数生成矩阵，有ones（全1阵）、zeros（全0阵）、eye（单位阵）、rand（均匀分布随机阵）等特殊矩阵。直接演示。Basis_4.m
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
b=ones(2,3);
c=ones(size(a));
d=zeros(3,2);
e=eye(3);
f=rand(3,3);
>> Basis_4
>> a,b,c,d,e,f,g
a =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b =
1 1 1
1 1 1
c =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
d =
0 0
0 0
0 0
e =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
f =
0.9649 0.9572 0.1419
0.1576 0.4854 0.4218
0.9706 0.8003 0.9157
g =
0.8147 0.9134 0.2785
0.9058 0.6324 0.5469
0.1270 0.0975 0.9575
矩阵运算这里介绍四则运算、分块矩阵、矩阵函数运算、矩阵特殊操作等运算形式。
四则运算，加减法时需同阶；乘法时左矩阵的列数应该等于右矩阵的行数；除法分左除\和右除/两种，左除时AX=B解为X=A\B，右除时XA=B解为X=A/B。
在传统MATLAB算法中，右除需要先计算矩阵的逆再做矩阵的乘法，而左除则不需要计算矩阵的逆，直接进行除法运算，实际计算中也应用较多。
下文演示中可以看出元素群运算和四则运算的区别，方便起见用方阵运算，以及通过矩阵除法的应用之一「解方程组」来学习左右除。Basis_5.m
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
b=[2,1,3;2,-3,-3;-2,3,3];
>> Basis_5
>> a+b,a*b,a.*b
ans =
3 3 6
6 2 3
5 11 12
ans =
0 4 6
6 7 15
12 10 24
ans =
2 2 9
8 -15 -18
-14 24 27
Basis_5.m |
分块矩阵，当需要对矩阵的某部分操作时即可用A(vr,vc)产生矩阵块，也可以拼接产生新矩阵。Basis_5.m
e=[1,2,3,4,5;6,7,8,9,10;11,12,13,14,15];
vr=[1:3];vc=[2:3];
f1=ones(2,3);%二行三列，2x3全一阵
f2=zeros(2,2);%二阶方阵，2x2全零阵
f3=eye(3);%三阶方阵，3x3单位矩阵
f4=6*ones(3,2);%三行二列，3x2全六阵
F=[f1,f2;f3,f4];
>> Basis_5
>> e(vr,vc),F
ans =
2 3
7 8
12 13
F =
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 0 0 6 6
0 1 0 6 6
0 0 1 6 6
矩阵函数运算，比如矩阵A的逆inv(A)，或者方阵A的行列式det(A)，还有矩阵A的秩rank(A)，众多函数在以后用到时详细学习。这里用上文的c=[1,1,1;2,3,-1;5,-2,1]演示。>> inv(c),det(c),rank(c)
ans =
-0.0400 0.1200 0.1600
0.2800 0.1600 -0.1200
0.7600 -0.2800 -0.0400
ans =
-25
ans =
3
矩阵特殊操作，例如矩阵变维、变向、抽取等，下文将演示矩阵变维的操作。reshape(A,Row,Column)，A为变维的原矩阵，Row为变维后行数，Column为变维后列数，结果为变维后矩阵。>> a=1:24,b=reshape(a,4,6)
b =
1 5 9 13 17 21
2 6 10 14 18 22
3 7 11 15 19 23
4 8 12 16 20 24
符号计算
一、符号变量与符号表达式
在数值计算中，变量都是数值变量。在符号运算中，变量都是以字符形式保存运算。符号可由sym或syms创建，sym只能一次创建一个符号，syms可创建多个。符号表达式可由符号’’或sym函数创建。
findsym(f,n)可以查询符号表达式使用到了哪n个符号变量，n缺省时表示查询全部。
有时符号运算的目的是得到精确的数值解，这就需要对解析解进行数值转换，会用到digits、vpa或subs函数，
digits(D)表示函数设置有效数字个数为D的近似解精度，
vpa(S,D)表示符号表达式S在digits(D)精度下的数值解，
subs(S,a,x)表示用x替换符号表达式S中的变量a，产生新的符号表达式，原符号表达式不变。
Basis_6.m |
二、符号微积分
导数。
diff(S,v,n)表示对表达式S关于变量v求n阶导数，n省略求1阶导，v省略则对默认变量求导。
例如求z=2ysinx\^2关于x的一阶、二阶偏导。
Basis_7.m |
当用于算符号矩阵时，是作用于矩阵的每个元素。
Basis_7.m |
积分。
int(S,v,a,b)表示对符号表达式关于指定变量v在区间[a,b]内求定积分，若出现无穷区间情形以inf代替。
a,b两变量省略的话，求的就是不定积分。
例如求下面两个积分。
Basis_7.m |
极限。
limit(S,x,a)表示计算符号表达式S在x->a时的极限。
例如求下面问题的左极限。
Basis_7.m |
级数求和。
symsum(S,v,a,b)表示对符号表达式S关于指定变量v从a到b求和。
例如求下面级数的和。
Basis_7.m |
幂级数展开。
taylor(S,n)表示对符号函数S关于默认变量的n次麦克劳林展开式。
taylor(S,x,a,’order’,n)表示对符号函数S关于指定变量x在a点的n次泰勒展开式。
例如将y=cosx在x=pi/3处展开成次数为7的幂级数。
Basis_7.m |
三、符号简化
因式分解。
factor(S)表示把表达式S分解为多个因式，各因式的系数均为有理数，若S是个整数则对S进行素数分解。
例如。
Basis_8.m |
展开。
expand(S)表示把表达式S分解进行展开。
例如。Basis_8.m
expand((x-1)^5)
>> Basis_8
ans =
x^5 - 5*x^4 + 10*x^3 - 10*x^2 + 5*x - 1
合并。
collect(S,v)表示对表达式S按照变量v的同幂项进行合并。
例如。Basis_8.m
f=(x+1)^2*(t+1)^2+3*x^2*t+2*x*t;
collect(f,x)
>> Basis_8
ans =
(3*t + (t + 1)^2)*x^2 + (2*t + 2*(t + 1)^2)*x + (t + 1)^2
简化。
[R,HOW]=simple(S)表示对表达式S尝试不同算法简化，找到表达式的长度最短形式R，HOW为简化过程中的主要方法，不过现在版本已经没有了。
simplify(S)表示对表达式S利用恒等式进行化简。
例如。Basis_8.m
simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)
>> Basis_8
ans =
1
通分。
[N,D]=numden(S)表示将表达式S的各元素转换为分子和分母都是整系数的最佳多项式，N表示分子D表示分母。
例如。Basis_8.m
[n,d]=numden(x/(2*y)+y/(3*x)+x+y+1)
>> Basis_8
n =
6*x^2*y + 3*x^2 + 6*x*y^2 + 6*x*y + 2*y^2
d =
6*x*y
嵌套。
horner(S)表示将符号多项式S转换成嵌套形式表示，用多层括号表示。
例如。Basis_8.m
horner(x^4+2*x^3-5*x^2+7*x-8)
>> Basis_8
ans =
x*(x*(x*(x + 2) - 5) + 7) - 8
图形可视化
一、二维图形的绘制
二维曲线图。
MATLAB作图需要先取得图形上一系列的点坐标，即横纵坐标，然后调用plot函数绘制曲线。
plot(x,y,’s’)中x是横坐标向量，y是纵坐标向量，s为选项字符串，可以控制线型和颜色。
plot(xk,yk,’s’…)可以绘制多条曲线，但要求各x横坐标向量维数相同，各y纵坐标向量维数相同。
例如绘制弦线。Basis_9.m
figure(1);
x=0:pi/50:2*pi;
y1=sin(x);
y2=cos(x);
plot(x,y1,'k:',x,y2,'b-');
>> Basis_9
也可以通过hold on/hold off单条绘制得到。
绘制图形时可以用一些命令对图形进行说明，常用的有title,xlabel,ylabel,text,legend,axis,grid,hold等。Basis_9.m
axis([0,3*pi,-1.5,1.5]);
title('正弦与余弦曲线');
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
legend('sin(x)','cos(x)');
grid('on');
>> Basis_9
子图。
subplot(m,n,p)表示将图形窗口分割为mxn个绘图区，每行n个共m行，区号按行优先编号，且选定第p个区为当前活动区。
这部分不多说，下文中有各种演示。
符号函数画图。
ezplot(‘f’,[xmin,xmax,ymin,ymax])表示绘制函数f在xminBasis_9.m
figure(2);
subplot(1,3,1);
ezplot('sin(x)',[-4*pi,4*pi]);
subplot(1,3,2);
ezplot('x^2/4-y^2/9=1',[-5,5,-3,3]);
subplot(1,3,3);
fplot('exp(x)+sin(x)',[-1,pi]);
>> Basis_9
二、三维图形的绘制
三维曲线图。
最基本的三维曲线绘图函数就是plot3，看函数名就可以看出来是二维函数plot功能的三维扩展，
plot3(x,y,z)表示绘制一条三维曲线，其中x,y,z为三个相同维数的向量，函数绘出这些向量所表示的三维曲线。
plot3(X,Y,Z)绘制多条三维曲线，X,Y,Z是三个相同阶数的矩阵，绘出的是三个矩阵列向量表示的曲线。
plot3(xk,yk,zk,ck…)也可以绘制多条，c表示线型和颜色。
例如绘制三维螺旋线。
x=2cost,y=2sint,z=3t,t∈[0,10pi]。Basis_9.m
figure(3);
subplot(1,2,1);
t=0:pi/30:10*pi;
x=2*cos(t);
y=2*sin(t);
z=3*t;
plot3(x,y,z);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
>> Basis_9
或者ezplot的扩展ezplot3。Basis_9.m
subplot(1,2,2);
ezplot3('2*cos(t)','2*sin(t)','3*t',[0,10*pi]);
>> Basis_9
三维曲面图。
绘制三维曲面图之前需要对数据处理，得到坐标组，步骤：将自变量x,y离散->使用meshgrid指令生成特定x-y矩阵，
[X,Y]=meshgrid(x,y)，X,Y矩阵元素分别表示为所绘曲面在XOY面投影点的x,y轴坐标值，若向量x的维数为m，向量y的维数为n，则X,Y矩阵对应维数为nxm->利用函数z=f(X,Y)，计算函数值->利用MATLAB三维曲面绘制函数，绘制三维曲面图。
mesh(X,Y,Z,C)绘制三维曲面网格图，C控制网格颜色。
surf(X,Y,Z,C)绘制三维曲面颜色填充图，C控制网格内区域颜色。
例如绘制z=√(x^2+y^2),x∈[-10,10],y∈[-10,10]。Basis_9.m
figure(4);
subplot(2,2,1);
x=-10:1:10;
y=-10:1:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=sqrt(X.^2+Y.^2);
mesh(X,Y,Z);
subplot(2,2,2);
surf(X,Y,Z);
>> Basis_9
设置观察三维曲面图的视点，使用view(az,el)，az是azimuth方位角，el是elevation仰角，以度为单位，默认方位角-37.5°，仰角30°。
az是指，x平行于观察者身体，y垂直于观察者身体，az=0，绕z顺时针运动az为正，逆时针为负。
el是指，当观察者眼睛在xy平面上el=0，向上el为正，向下为负。需要指定点时则view([x,y,z])。
仍以上图为例，以az=-45°，el=45°，和[3,-2,5]处观察。Basis_9.m
subplot(2,2,3);
mesh(X,Y,Z);
view(-45,45);
subplot(2,2,4);
mesh(X,Y,Z);
view([3,-2,5]);
>> Basis_9
绘制空间曲面符号绘图函数有ezmesh和ezsurf，两函数格式类似，不重复说明。
ezmesh(z(x,y),[xmin,xmax,ymin,ymax])表示在x和y的范围内绘制z。
ez前缀的这几个函数用于处理符号函数，而不加的surf，mesh等用来处理数值函数。
总结
正确的学法不是一边学一边写博客，而是应该将任务划分为几个部分，每部分学完后写博客巩固，将知识扎牢，否则一是拖慢进度，二是学习强度和质量不尽人意。