概率论几大分布的期望和方差证明整合

概率论几大分布的期望和方差证明整合

前言

简介

       本文是对概率论中常见分布包括二项分布、0-1分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望和方差的证明整合,附加自己的推导或理解。

导览

      二项分布 (Binomial Distribution)
      泊松分布 (Poisson’s Distribution)
      均匀分布 (Uniform Distribution)
      正态分布 (Normal Distribution)
      指数分布 (Exponential Distribution)

总结

      二项分布 (Binomial Distribution) X~B(n,p):E(X)=np,D(X)=np(1-p)=npq 。
      0-1分布 X~B(1,p):E(X)=p,D(X)=p(1-p)=pq 。
      泊松分布 (Poisson’s Distribution) X~P($\lambda$):E(X)=λ,D(X)=λ 。
      均匀分布 (Uniform Distribution) X~U(a,b) :E(X)=$(a+b)/2$,D(X)=$(b-a)^2/12$ 。
      正态分布 (Normal Distribution) X~N(μ,σ):E(X)=μ,D(X)=$σ^2$。
      指数分布 (Exponential Distribution)X~Γ(1,β):E(X)=$1/λ$,D(X)=$1/λ^2$ 。

正文

二项分布(Binomial Distribution)

Part Ⅰ

X~B(n,p)

分布律:$P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k},k = 0,1,2,..,n,q = 1-p$
期望:

方差:$DX = EX^2-(EX)^2$
计算EX^2:

Part Ⅱ 0-1分布 From chs007chs

X~B(1,p)

也可以从上式直接推导得到,

泊松分布(Poisson’s Distribution)

X~P($\lambda$)

分布律:$P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$
期望:

用到泰勒展开式:

方差:$DX = EX^2-(EX)^2$
计算EX^2:

均匀分布(Uniform Distribution)

X~U(a,b)

推导较为简单。

正态分布(Normal Distribution)

X~N(μ,σ)

概率密度函数:$f_X(x) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$

期望:$E(x) = \mu\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{N}(x|\mu’ = 0, \sigma^2)dx = \mu$

方差:$\Rightarrow V(X) = \sigma^2\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac 12 \frac {\sqrt \pi}{2} = \sigma^2$

指数分布(Exponential Distribution)

X~Γ(1,β)

概率密度函数,
期望:

方差:$DX = EX^2-(EX)^2$
计算EX^2:

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